Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x²+a|lnx-1|
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（1），切點(diǎn)為（1，2），根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意知當(dāng)0＜x≤e時(shí)，f′(x)=2x-

3

x

=

2x2-3

x

，f（x）在（1，e]內(nèi)單調(diào)性．當(dāng)x≥e時(shí)，f′(x)=2x+

3

x

＞0恒成立，故f（x）在[e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）分x≥e和x＜e兩種情況討論．分別對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性后可得到答案．

解答：解（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+|lnx-1|=

x2+lnx-1，x≥e x2-lnx+1，0＜x＜e

，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）=2x-

1

x

，f'（1）=1，
令x=1得f（1）=2，所以切點(diǎn)為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：x-y+1=0．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+3|lnx-1|
=

x2-3lnx+3  (0＜x≤e) x2+3lnx-3  (x＞e)

當(dāng)0＜x≤e時(shí)，f′(x)=2x-

3

x

=

2x2-3

x

，
f（x）在（0，

6

2

]內(nèi)單調(diào)遞減，在（

6

2

，e]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x≥e時(shí)，f′(x)=2x+

3

x

＞0恒成立，
故f（x）在（0，

6

2

]內(nèi)單調(diào)遞減，在（

6

2

，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）①當(dāng)x≥e時(shí)，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函數(shù)．
故當(dāng)x=e時(shí)，y_min=f（e）=e²
②當(dāng)1≤x＜e時(shí)，f（x）=x²-alnx+1，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）
（i）當(dāng)

a 2

≤1，即0＜a≤2時(shí)，f'（x）在x∈（1，e）時(shí)為正數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)．
故當(dāng)x=1時(shí)，y_min=1+a，且此時(shí)f（1）＜f（e）
（ii）當(dāng) 1＜

a 2

＜e，即2＜a＜2e²時(shí)，
f'（x）在 x∈(1，

a 2

)時(shí)為負(fù)數(shù)，在間 x∈( 

a 2

，e)時(shí)為正數(shù)
所以f（x）在區(qū)間 [1，

a 2

)上為減函數(shù)，在 (

a 2

，e]上為增函數(shù)
故當(dāng) x=

a 2

時(shí)，ymin=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
且此時(shí) f(

a 2

)＜f(e)
（iii）當(dāng)

a 2

≥e；即a≥2e²時(shí)，
f'（x）在x∈（1，e）時(shí)為負(fù)數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=e時(shí)，y_min=f（e）=e²．
綜上所述，當(dāng)a≥2e²時(shí)，f（x）在x≥e時(shí)和1≤x≤e時(shí)的最小值都是e²．
所以此時(shí)f（x）的最小值為f（e）=e²；
當(dāng)2＜a＜2e²時(shí)，f（x）在x≥e時(shí)的最小值為 f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
而 f(

a 2

)＜f(e)，
所以此時(shí)f（x）的最小值為 f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

．
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，在x≥e時(shí)最小值為e²，在1≤x＜e時(shí)的最小值為f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此時(shí)f（x）的最小值為f（1）=1+a
所以函數(shù)y=f（x）的最小值為 ymin=

1+a，0＜a≤2 3a 2 - a 2 ln a 2 ，2＜a≤2e2 e2，a＞2e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．