Question

【題目】如圖，為圓的直徑，點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，垂直圓所在的平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接，然后利用直徑的性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)推出、，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理推出，由此使問(wèn)題得證；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量，再分別求出平面與的法向量，從而利用空間夾角公式求解即可．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，由知，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

為圓上的一點(diǎn)，為圓的直徑，．

知，，

為正三角形，．

又垂直圓所在的平面，在圓所在的平面內(nèi)，．

由，可得平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)．設(shè)，

則．．

設(shè)向量為平面的法向量，則，即

，取，則為平面的一個(gè)法向量．

又為平面的一個(gè)法向量．

，

二面角的余弦值為．