Question

求函數(shù)y=x³-3x²+x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由原點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中判斷出原點(diǎn)在函數(shù)圖象上，設(shè)切線與函數(shù)的切點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把A的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線的斜率，又根據(jù)點(diǎn)A和原點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出切線的斜率，兩者相等得到A橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，記作①，又因?yàn)锳在函數(shù)圖象上，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式中得到另外一個(gè)關(guān)于A橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出A的橫坐標(biāo)，即可得到切線的斜率，根據(jù)求出的斜率與原點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程即可．

解答： 解：易見O（0，0）在函數(shù)y=x³-3x²+x的圖象上，y′=3x²-6x+1，但O點(diǎn)未必是切點(diǎn)．
設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+1，
∴切線斜率為3x₀²-6x₀+1，又切線過原點(diǎn)，
∴kx0=

y0

x0

=3x₀²-6x₀+1即：y₀=3x₀³-6x₀²+x₀①
又∵切點(diǎn)A（x₀，y₀）y=x³-3x²+x的圖象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+x₀②
由①②得：x₀=0或x₀=

3

2

，
∴切線方程為：y=x或5x+4y=0．
故答案為：y=x或5x+4y=0．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)斜率和一點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的方程，是一道綜合題．