【題目】如圖是一個(gè)路燈的平面設(shè)計(jì)示意圖,其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分,坐標(biāo)原點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸為y軸,燈桿BC可視為線段,其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點(diǎn)B.已知AB=2分米,直線軸,點(diǎn)C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價(jià)為10/分米;若頂點(diǎn)O到直線AB的距離為t分米,則曲線段AOB部分的造價(jià)為. 設(shè)直線BC的傾斜角為,以上兩部分的總造價(jià)為S.

(1)①求t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

②求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求總造價(jià)S的最小值.

【答案】(1) ① ..

(2) .

【解析】分析:(1)①先設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為,代入點(diǎn)B可得a的值,然后求出切線BC的斜率,轉(zhuǎn)化為傾斜角從建立t與的等式關(guān)系;②根據(jù)t與的關(guān)系得出曲線段部分的造價(jià)為元,然后求出BC段的造價(jià),故兩段的造價(jià)之和;(2)由S的表達(dá)式根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得最小值.

詳解:

(1)①設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為,將代入,故拋物線的方程為,求導(dǎo)得,故切線的斜率為,而直線的傾斜角為,故,t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為.

②因?yàn)?/span>,所以曲線段部分的造價(jià)為元,

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為8分米,直線的傾斜角為,故部分的造價(jià)為,

得兩部分的總造價(jià)為.

(2),

,

其中恒成立,令,設(shè)為銳角,

列表如下:

0

極小

故當(dāng)時(shí)有最小值,此時(shí),,

故總造價(jià)S的最小值為.

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(1)若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬,試估計(jì)全市有多少居民?并說明理由;
(2)若該市政府?dāng)M采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為[1,1.5)和[1.5,2)之間選取7戶居民作為議價(jià)水費(fèi)價(jià)格聽證會(huì)的代表,并決定會(huì)后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎(jiǎng),設(shè)X為用水量噸數(shù)在[1,1.5)中的獲獎(jiǎng)的家庭數(shù),Y為用水量噸數(shù)在[1.5,2)中的獲獎(jiǎng)家庭數(shù),記隨機(jī)變量Z=|X﹣Y|,求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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