Question

【題目】水是地球上寶貴的資源，由于介個(gè)比較便宜在很多不缺水的城市居民經(jīng)常無(wú)節(jié)制的使用水資源造成嚴(yán)重的資源浪費(fèi)．某市政府為了提倡低碳環(huán)保的生活理念鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬(wàn)，試估計(jì)全市有多少居民？并說(shuō)明理由；
（2）若該市政府?dāng)M采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為[1，1.5）和[1.5，2）之間選取7戶居民作為議價(jià)水費(fèi)價(jià)格聽(tīng)證會(huì)的代表，并決定會(huì)后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎(jiǎng)，設(shè)X為用水量噸數(shù)在[1，1.5）中的獲獎(jiǎng)的家庭數(shù)，Y為用水量噸數(shù)在[1.5，2）中的獲獎(jiǎng)家庭數(shù)，記隨機(jī)變量Z=|X﹣Y|，求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，

所以假設(shè)全市的人數(shù)為x（萬(wàn)人），則有0.12x=3.6，解得x=30，

所以估計(jì)全市人數(shù)為30萬(wàn)

（2）解：由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，

因?yàn)轭l率= ，

所以0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a=0.3，

用水量在[1，1.5]之間的戶數(shù)為100×0.3×0.5=15戶，

而用水量在[1.5，2]噸之間的戶數(shù)為100×0.4×0.5=20戶，

根據(jù)分層抽樣的方法，總共需要抽取7戶居民，

所以用水量在[1，1.5]之間應(yīng)抽取的戶數(shù)為 戶，

而用水量在[1.5，2]噸之間的戶數(shù)為 戶．

據(jù)題意可知隨機(jī)變量Z的取值為0，2，4. ， ， ，

其分布列為：

Z	0	2	4
P

期望為：E（Z）=0× +2× + =

【解析】（1）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，解出即可得出．（2）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，頻率= ，可得0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a．據(jù)題意可知隨機(jī)變量Z的取值為0，2，4．利用相互獨(dú)立、互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案．