已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率等于 ,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)點P(2,3), Q(2,-3)在橢圓上,A,B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動點,

①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;

②當A、B運動時,滿足于∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.

 

(Ⅰ);(Ⅱ)①;②.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)利用橢圓中的相關(guān)定義和方程,可知.由,即可求出求解a,b,進而求得標準方程.(Ⅱ)設(shè)直線方程,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,通過消元,轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決.①設(shè),直線的方程為, 代入,得,解得,由韋達定理得. 四邊形的面積,可知當,.②當,則、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為,則的斜率為,的直線方程為,將其與橢圓方程聯(lián)立整理得 ,可得

同理的直線方程為,可得,,,化簡即可求得的斜率為定值.

試題解析:【解析】
(1)設(shè)橢圓的方程為,則.由,得

∴橢圓C的方程為.

(2)①【解析】
設(shè),直線的方程為, 代入

,解得

由韋達定理得. 四邊形的面積

∴當,. …… 4分

②【解析】
,則、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為

的斜率為,的直線方程為

(1)代入(2)整理得

同理的直線方程為,可得

所以的斜率為定值. …………12分.

考點:1.直線與圓錐曲線的綜合問題;2.橢圓的簡單性質(zhì).

 

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