已知函數(shù)
,
.
(1)若
, 函數(shù)
在其定義域是增函數(shù),求
的取值范圍;
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)
的最小值;
(3)設(shè)函數(shù)
的圖象
與函數(shù)
的圖象
交于點(diǎn)
,過線段
的中點(diǎn)
作
軸的垂線分別交
、
于點(diǎn)
、
,問是否存在點(diǎn)
,使
在
處的切線與
在
處的切線平行?若存在,求出
的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)
;(2)當(dāng)
時(shí),
的最小值為
;當(dāng)
時(shí),
的最小值為
;當(dāng)
時(shí),
的最小值為
;(3)不存在點(diǎn).
試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式基礎(chǔ)知識,考查函數(shù)思想、構(gòu)造函數(shù)思想、分類討論思想,考查綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為恒成立問題,再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題;第二問,利用配方法求最值,討論對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的大小,本問突出體現(xiàn)了分類討論思想的運(yùn)用;第三問,把問題坐標(biāo)化,用反證法證明,利用切線平行,列出方程,構(gòu)造函數(shù),判斷單調(diào)性求最值,得出矛盾.
試題解析:(1)依題意:
在
上是增函數(shù),
對
恒成立, 2分
∴
∵
,則
.
∴
的取值范圍為
4分
(2)設(shè)
,則函數(shù)化為
∵
∴當(dāng)
,即
時(shí),函數(shù)
在
上為增函數(shù).
當(dāng)
時(shí),
; 6分
當(dāng)
,即
時(shí),當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)
,即
時(shí),函數(shù)
在
上是減函數(shù).
當(dāng)
時(shí),
8分
綜上所述,當(dāng)
時(shí),
的最小值為
.
當(dāng)
時(shí),
的最小值為
.
當(dāng)
時(shí),
的最小值為
. 9分
(3)設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)是
且
則點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
在點(diǎn)
處的切線斜率為
在點(diǎn)
處的切線斜率為
10分
假設(shè)
在點(diǎn)
處的切線與
在點(diǎn)
處的切線平行,則
則
11分
則
設(shè)
,則
① 12分
令
,則
∵
,∴
,所以
在
上單調(diào)遞增,
故
,則
.
這與①矛盾,假設(shè)不成立.故C
1在點(diǎn)M處的切線與C
2在點(diǎn)N處的切線不平行. 14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
對于函數(shù)f(x)(x∈D),若x∈D時(shí),恒有
>
成立,則稱函數(shù)
是D上的J函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)f(x)=m
lnx是J函數(shù)時(shí),求m的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)為(0,+∞)上的J函數(shù),
試比較g(a)與
g(1)的大;
求證:對于任意大于1的實(shí)數(shù)x
1,x
2,x
3, ,x
n,均有g(shù)(ln(x
1+x
2+ +x
n))
>g(lnx
1)+g(lnx
2)+ +g(lnx
n).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若
是偶函數(shù),且當(dāng)
時(shí),f (x) = x-1,則f (x-1) < 0的解集是( )
A.{x |-1 < x < 0} | B.{x | x < 0或1< x < 2} |
C.{x | 0 < x < 2} | D.{x | 1 < x < 2} |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
的遞減區(qū)間是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
,若對于任意的
,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi),既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( ).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
下列函數(shù)在(0,+
)上是增函數(shù)的是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
的最大值是
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