【題目】已知點在橢圓上，設(shè)分別為左頂點、上頂點、下頂點，且下頂點到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，過點作斜率為的直線交橢圓于，交軸于點，若為中點，過作與直線垂直的直線，證明：對于任意的，直線恒過定點，并求出此定點坐標．

【答案】見解析

【解析】（1）由題意，得直線方程為，點，……………1分

∴點到直線的距離，整理，得． ①……………3分

又點在橢圓上，所以． ②……………4分

聯(lián)立①②解得，所以橢圓的方程為．…………………5分

（2）因為，所以設(shè)直線的方程為．

由消元得，，化簡得，，

解得，. …………………7分

顯然，則，

所以. …………………8分

因為點為的中點，所以的坐標為，則，

所以直線的斜率為，

又直線的方程為，…………………10分

所以令，得點坐標為，

所以直線的方程為，即，…………………11分

所以直線恒過定點．…………………12分

【命題意圖】本題主要考查橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維

與推理論證能力、分析與解決問題的能力、運算求解能力．

練習冊系列答案
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【題目】五邊形是由一個梯形與一個矩形組成的，如圖甲所示，B為AC的中點， ． 先沿著虛線將五邊形折成直二面角，如圖乙所示．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求圖乙中的多面體的體積．

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【題目】某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學參考書4本，從中取出4本贈送給4位學生，每位學生1本，則不同的贈送方法共有（ ）

A. 15種 B. 20種 C. 48種 D. 60種

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【題目】函數(shù)f（x）=log2 log2 ，x∈（2，8]的值域為（ ）
A.[0，2]
B.[﹣ ，2]
C.（0，2]
D.（﹣ ，2]

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【題目】某同學在研究函數(shù)f（x）= ﹣1（x∈R）時，得出了下面4個結(jié)論：①等式f（﹣x）=f（x）在x∈R時恒成立；②函數(shù)f（x）在x∈R上的值域為（﹣1，1]；③曲線y=f（x）與g（x）=2x﹣2僅有一個公共點；④若f（x）= ﹣1在區(qū)間[a，b]（a，b為整數(shù)）上的值域是[0，1]，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對（a，b）共有5對．其中正確結(jié)論的序號有（請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上）．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當，時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．

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【題目】已知函數(shù) 的定義域是R，則實數(shù)m的取值范圍是

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【題目】已知定圓，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為.

（I）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若與軸不重合的直線過點，且與軌跡交于兩點，問：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．

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