已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.
(1)求的解析式;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù).
(1) (2) (3)10
解析試題分析:(1)利用導(dǎo)函數(shù)及待定系數(shù)法求解;(2)利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,要注意對進(jìn)行討論;(3)數(shù)列求和的方法由數(shù)列的通項(xiàng)公式?jīng)Q定.常用的方法有:公式求和法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組轉(zhuǎn)化法等。先利用裂項(xiàng)相消法求和,再求其最大值,就得到的取值范圍.
試題解析:(1)依題意設(shè)二次函數(shù),則. 1分
由于,得: 2分
所以. 3分
(2)由點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上,又,
所以. 4分
當(dāng)時(shí), 5分
當(dāng)時(shí), 7分
所以, 8分
(3)由(2)得知= 9分
=, 11分
故=
=. 12分
要使()成立,需要滿足≤,13分
即,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 14分
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 2.通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求法 3.函數(shù)(數(shù)列)最值的求法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
2013年我國汽車擁有量已超過2億(目前只有中國和美國超過2億),為了控制汽車尾氣對環(huán)境的污染,國家鼓勵(lì)和補(bǔ)貼購買小排量汽車的消費(fèi)者,同時(shí)在部分地區(qū)采取對新車限量上號.某市采取對新車限量上號政策,已知2013年年初汽車擁有量為(=100萬輛),第年(2013年為第1年,2014年為第2年,依次類推)年初的擁有量記為,該年的增長量和與的乘積成正比,比例系數(shù)為其中=200萬.
(1)證明:;
(2)用表示;并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,是與的等比中項(xiàng).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)若,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,,前和
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在實(shí)數(shù),使得對一切正整數(shù)都成立?若存在,求的最小值,若不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知無窮數(shù)列中,、 、、構(gòu)成首項(xiàng)為2,公差為-2的等差數(shù)列,、、、,構(gòu)成首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,其中,.
(1)當(dāng),,時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對任意的,都有成立.
①當(dāng)時(shí),求的值;
②記數(shù)列的前項(xiàng)和為.判斷是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列和公比為的等比數(shù)列滿足:,,.
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對任意均有成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列滿足.
(1)計(jì)算,,,,由此猜想通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想;
(2)若數(shù)列滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.
(1)若,求及;
(2)求證:對任意,;
(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),前項(xiàng)和為,且對任意,都有.
(1)求證:; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
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