【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 數(shù)列{an}滿足,2Sn=an(an+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為An , 求證:對任意正整數(shù)n,都有An< 成立;
(3)數(shù)列{bn}滿足bn=( )nan , 它的前n項(xiàng)和為Tn , 若存在正整數(shù)n,使得不等式(﹣2)n﹣1λ<Tn+ ﹣2n﹣1成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】
(1)解: ,當(dāng)n≥2時, ,
兩式相減得: ,所以(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0.
因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列,故an+an﹣1≠0,也即an﹣an﹣1=1,
所以數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列,故通項(xiàng)公式為an=n,n∈N*
(2)解: = ,
所以對任意正整數(shù)n,都有 成立
(3)解:易知 ,則 ,①,
,②
①﹣②可得: .
故 ,所以不等式 成立,
若n為偶數(shù),則 ,所以 .
設(shè) ,則y=﹣2t+t2+1=(t﹣1)2在 單調(diào)遞減,
故當(dāng) 時, ,所以 ;
若n為奇數(shù),則 ,所以 .
設(shè) ,則y=2t﹣t2﹣1=﹣(t﹣1)2在(0,1]單調(diào)遞增,
故當(dāng)t=1時,ymax=0,所以λ<0.
綜上所述,λ的取值范圍λ<0或
【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,(2) = < = ﹣ ,利用放縮法即可證明,(3)先利用錯位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 不等式(﹣2)n﹣1λ<Tn+ ﹣2n﹣1成立,轉(zhuǎn)化為 成立,分n為偶數(shù)和奇數(shù),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R的奇函數(shù)滿足,且時, ,下面四種說法①;②函數(shù)在[-6,-2]上是增函數(shù);③函數(shù)關(guān)于直線對稱;④若,則關(guān)于的方程在[-8,8]上所有根之和為-8,其中正確的序號__________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在拋物線: 的準(zhǔn)線上,記的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線交于, 兩點(diǎn),則線段的長為( )
A. 4 B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形, ,且, 為中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且tanC= . (Ⅰ)求角C大小;
(Ⅱ)當(dāng)c=1時,求ab的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,
已知某圓的極坐標(biāo)方程為: .
(1)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn) 在該圓上,求的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為,且過點(diǎn);過點(diǎn)與直線平行的直線為, 與曲線相交于兩點(diǎn).
(1)求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在中, 的中點(diǎn)為,且,點(diǎn)在的延長線上,且.固定邊,在平面內(nèi)移動頂點(diǎn),使得圓與邊,邊的延長線相切,并始終與的延長線相切于點(diǎn),記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸, 為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線交曲線于兩點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),求面積的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線: ,曲線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線, 的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)曲線: (為參數(shù), , )分別交, 于, 兩點(diǎn),當(dāng)取何值時, 取得最大值.
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