【題目】已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

【答案】【解答】
證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)),
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b得△1=(2b)2﹣4ac≤0,
2=(2c)2﹣4ab≤0,
3=(2a)2﹣4bc≤0.
同向不等式求和得,
4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0,
∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2≤0,
∴a=b=c,這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,
因此假設(shè)不成立,從而命題得證.
【解析】本題主要考查了反證法的應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是本題是一個(gè)至少性問題,可以利用反證法證明,其步驟為:①否定命題的結(jié)論,即假設(shè)“任何一條拋物線與x軸沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”成立→②根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可以得到三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的△≤0均成立→③利用不等式的性質(zhì),同向不等式求和→④得到的式子與實(shí)數(shù)的性質(zhì)相矛盾→⑤故假設(shè)不成立,原結(jié)論成立.

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A.6
B.32
C.33
D.34

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