Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：與直線：交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求斜率的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積求出參數(shù)的值即可得到所求方程．（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后再求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線，的方程，于是得到的坐標(biāo)，最后根據(jù)可求出斜率的值．

（1）由消去整理得，

∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，

∴，解得或（舍去）．

設(shè)，，則，

∴，

∵，

∴，解得，符合題意．

∴拋物線方程為：．

（2）由（1）得，

∴，，

∴，

∴，中點(diǎn)為．

設(shè)過點(diǎn)斜率為的直線方程為，即，

由消去整理得，

其中，故．

設(shè)，，

則，，

直線的方程為，令，得，

∴，

同理得，

∴，

解得，滿足題意．

∴斜率的值為．