Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m＞n＞0，求證：

lnm-lnn

2

＞

m-n

m+n

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

x2+2(1-a)x+1

x(x+1)2

，根據(jù)題意，在（0，+∞）上恒有f′（x）≥0，即x²+2（1-a）x+1≥0，解不等式求出即可；
（Ⅱ）原式?ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，由 

m

n

＞1 得f（

m

n

）＞f（1），而f（1）=0，從而問題得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

x2+2(1-a)x+1

x(x+1)2

，
根據(jù)題意，在（0，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即x²+2（1-a）x+1≥0，
∴a≤

1

2

（x+

1

x

）+1，
∵x+

1

x

≥2，
∴y=

1

2

（x+

1

x

）+1≥2，
∴a≤2，
 a的取值范圍是（-∞，2]；
（Ⅱ）原式?ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
由（Ⅰ）得a=2時(shí)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∵m＞n＞0，
∴

m

n

＞1，
∴f（

m

n

）＞f（1），
而f（1）=0，
∴原式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，不等式的證明，是一道中檔題．