Question

設(shè)α∈（0，

π

2

），函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，當(dāng)x≥y時(shí)，有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）
（1）求f（

1

2

），f（

1

4

）；
（2）求α的值
（3）求函數(shù)g（x）=sin（α-2x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用賦值法即可求f（

1

2

），f（

1

4

）；
（2）建立方程關(guān)系，利用三角函數(shù)的關(guān)系即可求α的值
（3）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式關(guān)系即可求函數(shù)g（x）=sin（α-2x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)x=0，y=1時(shí)，由f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）
得f（

1

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
f（

1

4

）=f（

1 2 +0

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α，
（2）f（

3

4

）=f（

1+ 1 2

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（

1

2

）=sinα（2-sinα），
即f（

1

2

）=f（

3 4 + 1 4

2

）=f（

3

4

）sinα+（1-sinα）f（

1

4

）=sin²α（3-2sinα），
∴sinα=sin²α（3-2sinα），
∴sinα=0或1或

1

2

．
∵α∈（0，

π

2

），∴α=

π

6

．
（3）g（x）=sin（α-2x）=sin（

π

6

-2x）=sin（2x+

5π

6

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

5π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用抽象函數(shù)，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．