Question

若對任意a，b，c∈R⁺，且a²+b²+c²=1，求證：a+b+

2

c≤2．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用分析法證明不等式，對不等式兩邊平方，通過已知條件以及基本不等式證明即可．

解答： 解：原不等式等價(jià)于（a+b+

2

c）²≤4…（2分）
即證a²+b²+2c²+2ab+2

2

ac+2

2

bc≤4…（4分）
即證c²+2ab+2

2

ac+2

2

bc≤3…（6分）
又c²+2ab+2

2

ac+2

2

bc≤c²+a²+b²+（

2

a）²+（

2

b）²+c²=3成立，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

c

2

時(shí)，等號(hào)成立．…（11分）
所以a+b+

2

c≤2…（12分）

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，分析法證明方法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．