Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，且，求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為．,解得,從而可得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為．

將代入并整理得，設(shè)， ， ，根據(jù)韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式可得，求得直線與的中垂線方程，聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及勾股定理可得圓的半徑，從而可得外接圓的方程.

試題解析：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，

所以點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為．

解得．

所以拋物線的方程為．

（2）設(shè)直線的方程為．

將代入并整理得，

由，解得．

設(shè)， ， ，

則， ，

因?yàn)?/span>

因?yàn)?/span>，所以．

即，又，解得．

所以直線的方程為．設(shè)的中點(diǎn)為,

則， ，

所以直線的中垂線方程為．

因?yàn)?/span>的中垂線方程為，

所以△的外接圓圓心坐標(biāo)為．

因?yàn)閳A心到直線的距離為，

且，

所以圓的半徑．

所以△的外接圓的方程為．