【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,是中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到平面的距離;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)勾股定理可證明平面,從而可分別以為軸、軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,先求的方向向量,再出利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個(gè)法向量,從而可得線面成角的正弦值,進(jìn)而可得結(jié)果;(2)利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個(gè)法向量,結(jié)合(1)的結(jié)論,利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值.
試題解析:∵正方形邊長,
∴,∴,∴平面,
∴分別以為軸、軸,軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,
∴,
(1)設(shè)平面的一個(gè)法向量,
則,令,得,
∴與平面所成角的正弦值,
∴點(diǎn)到平面的距離為;
(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量,
則,令,得,
∴,∴二面角的余弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角與線面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,則函數(shù)g(x)=f(f(x))﹣2在區(qū)間(﹣1,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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【題目】(1)求焦點(diǎn)在軸,焦距為4,并且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知雙曲線的漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),求此雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角中,垂心關(guān)于邊、、的對稱點(diǎn)分別為、、,關(guān)于邊、、的中點(diǎn)、、的對稱點(diǎn)分別為、、.證明:
(1)、、、、、六點(diǎn)共圓;
(2);
(3).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)在軸上方),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,且,求的外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x|.
(1)求不等式f(x)≤﹣6的解集;
(2)若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)=log2a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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