【題目】數(shù)列{an}定義為a1>0,a11=a,an+1=an+ an2 , n∈N*
(1)若a1= (a>0),求 + +…+ 的值;
(2)當(dāng)a>0時,定義數(shù)列{bn},b1=ak(k≥12),bn+1=﹣1+ ,是否存在正整數(shù)i,j(i≤j),使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1.如果存在,求出一組(i,j),如果不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:∵ ,

,

,

,

;


(2)解:由 ,

兩邊平方得

,

當(dāng)b1=ak時,由 ,

,數(shù)列{an}遞增,

故b2=ak1,

類似地,b3=ak2,…,bt=akt+1

, , ,

bi+bj=a10+a12,

∴aki+1+akj+1=a10+a12,

存在正整數(shù)i,j(i≤j),k﹣i+1=12,k﹣j+1=10i=k﹣11,j=k﹣9,

存在一組(i,j)=(k﹣11,k﹣9).


【解析】(1)化簡 可得 ,從而利用裂項(xiàng)求和法求和.(2)易知 ,從而可得 ,而b1=ak , 故代入可推出b2=ak1 , 從而類比可得b3=ak2 , …,bt=akt+1 , 從而可得aki+1+akj+1=a10+a12 , 從而求得.

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