【題目】已知函數(shù)f(x)= (a,b∈R,且a≠0,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線f(x)在點(e,f(e))處的切線斜率為0,且f(x)有極小值,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)①當 a=b=l 時,證明:xf(x)+2<0; ②當 a=1,b=﹣1 時,若不等式:xf(x)>e+m(x﹣1)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,求實數(shù)m的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)= ,∴f′(x)= .
∵f′(e)=0,∴b=0,則f′(x)= .
當a>0時,f′(x)在(0,e)內(nèi)大于0,在(e,+∞)內(nèi)小于0,
∴f(x)在(0,e)內(nèi)為增函數(shù),在(e,+∞)內(nèi)為減函數(shù),即f(x)有極大值而無極小值;
當a<0時,f(x)在(0,e)內(nèi)為減函數(shù),在(e,+∞)內(nèi)為增函數(shù),即f(x)有極小值而無極大值.
∴a<0,即實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,0);
(2)解:①證明:當a=b=1時,設(shè)g(x)=xf(x)+2=lnx﹣ex+2.
g′(x)= 在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù),又g′(1)=1﹣e<0,g′( )=2﹣ .
∴存在實數(shù)x0∈( ,1),使得 .
此時g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)為增函數(shù),在(x0,+∞)內(nèi)為減函數(shù).
又 ,
∴ ,x0=﹣lnx0.
由單調(diào)性知, = .
又x0∈( ,1),∴﹣( )<﹣2.
∴g(x)max<0,即xf(x)+2<0;
②xf(x)>e+m(x﹣1)xf(x)﹣m(x﹣1)>e,
當 a=1,b=﹣1 時,設(shè)h(x)=xf(x)﹣m(x﹣1)=lnx+ex﹣m(x﹣1).
則h′(x)= .
令t(x)=h′(x)= .
∵x>1,∴t′(x)= .
∴h′(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴當x>1時,h′(x)>h′(1)=1+e﹣m.
(i)當1+e﹣m≥0時,即m≤1+e時,h′(x)>0,
∴h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴當x>1時,h(x)>h(1)=e恒成立;
(ii)當1+e﹣m<0時,即m>1+e時,h′(x)<0,
∴存在x0∈(1,+∞),使得h′(x0)=0.
∴h(x)在區(qū)間(1,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
由h(x0)<h(1)=e,
∴h(x)>e不恒成立.
綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,1+e].
∴實數(shù)m的最大值為:1+e
【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由f′(e)=0得b=0,可得f′(x)= .然后對a分類討論,可知當a>0時,f(x)有極大值而無極小值;當a<0時,f(x)有極小值而無極大值.從而得到實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,0);(2)(i)當a=b=1時,設(shè)g(x)=xf(x)+2=lnx﹣ex+2.求其導(dǎo)函數(shù),可得g′(x)= 在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù),結(jié)合零點存在定理可得存在實數(shù)x0∈( ,1),使得 .得到g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)為增函數(shù),在(x0 , +∞)內(nèi)為減函數(shù).又 ,得 ,x0=﹣lnx0 . 由單調(diào)性知g(x)max<0,即xf(x)+2<0;(ii)xf(x)>e+m(x﹣1)xf(x)﹣m(x﹣1)>e,當 a=1,b=﹣1 時,設(shè)h(x)=xf(x)﹣m(x﹣1)=lnx+ex﹣m(x﹣1).利用兩次求導(dǎo)可得當x>1時,h′(x)>h′(1)=1+e﹣m.然后分當1+e﹣m≥0時和當1+e﹣m<0時求解m的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求滿足下列條件的直線l′的方程:
(1)過點(-1,3),且與l平行的直線方程為________
(2)過點(-1,3),且與l垂直的直線方程為__________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}中,已知3a5=7a10 , 且a1<0,則數(shù)列{an}前n項和Sn(n∈N*)中最小的是( )
A.S7或S8
B.S12
C.S13
D.S14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景點擬建一個扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),按設(shè)計要求扇環(huán)的周長為36米,其中大圓弧所在圓的半徑為14米,設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).
⑴ 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
⑵ 已知對花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時,直線部分的裝飾費用為4元/米,弧線部分的裝飾費用為16元/米,設(shè)花壇的面積與裝飾總費用之比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2sin Acos B=2sin C﹣sin B. ①求角A;
②若a=4 ,b+c=8,求△ABC 的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋擲兩枚骰子,求:
(1)點數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率;
(2)點數(shù)之和大于5而小于10的概率;
(3)同時拋兩枚骰子,求至少有一個5點或者6點的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A,B;
(2)設(shè)全集U=A∪B,求(UA)∪(UB);
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