Question

14．向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{x}{2}$-1，cos2x+1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸和對稱中心；
（2）△ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，角B為銳角，若f（B）=0，b=2，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積，二倍角公式兩角差的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，然后求的對稱軸和對稱中心；
（2）由（1）化簡f（B）=0，根據(jù)銳角B的范圍求出角B，由余弦定理和基本不等式求出（a+c）的范圍，即可求出△ABC周長的最大值．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
=2sinx•（2cos²$\frac{x}{2}$-1）-$\sqrt{3}$（cos2x+1）
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$；
（1）令 $2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
解得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}$，
故函數(shù)f（x）的對稱軸為   $x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
令 $2x-\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，解得$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，
故函數(shù)f（x）的對稱中心為    $（\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，-\sqrt{3}），k∈Z$；
（2）$f（B）=2sin（2B-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}=0$，即$sin（2B-\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{3}＜2B-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$2B-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$
即${B}=\frac{π}{3}$．
又b=2，由余弦定理$cos{B}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，得a²+c²-ac-4=0，
即（a+c）²-3ac-4=0，
∴（a+c）²=3ac+4．
又∵$ac≤{（\frac{a+c}{2}）^2}=\frac{{{{（a+c）}^2}}}{4}$代入上式得${（a+c）^2}=3ac+4≤\frac{{3{{（a+c）}^2}}}{4}+4$
解得（a+c）²≤16，a+c≤4，
即△A BC周長C=a+b+c≤2+4=6（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立），故△ABC周長的最大值為6．

點評 本題考查余弦定理，基本不等式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查整體思想，屬于中檔題．