Question

2．已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若${x_0}∈（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$，且f（x₀）=$\frac{3}{5}$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可得單調(diào)遞增區(qū)間，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得圖象的對稱軸方程．
（Ⅱ）由x∈$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最大值，最小值．
（Ⅲ）根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）的值，根據(jù)x₀=（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴可得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z
∵令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴圖象的對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
（Ⅱ）∵x∈$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅲ）∵sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵${x_0}∈（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$，2x₀-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2x₀=cos[（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．