【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (其中常數(shù)a>0,且a≠1).
(1)當(dāng)a=10時(shí),解關(guān)于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2 );
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,2]上的最小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=

①當(dāng)x<0時(shí),f(x)= >3.因?yàn)閙>2

則當(dāng)2 <m≤3時(shí),方程f(x)=m無解;

當(dāng)m>3,由10x= ,得x=lg

②當(dāng)x≥0時(shí),10x≥1.由f(x)=m得10x+ =m,

∴(10x2﹣m10x+2=0.

因?yàn)閙>2 ,判別式△=m2﹣8>0,解得10x=

因?yàn)閙>2 ,所以 >1.

所以由10x= ,解得x=lg

=1,得m=3.

所以當(dāng)m>3時(shí), = =1,

當(dāng)2 <m≤3時(shí), = =1,解得x=lg

綜上,當(dāng)m>3時(shí),方程f(x)=m有兩解x=lg 和x=lg ;

當(dāng)2 <m≤3時(shí),方程f(x)=m有兩解x=lg


(2)解:①若0<a<1,

當(dāng)x<0時(shí),0<f(x)= <3;

當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=ax+

令t=ax,則t∈[a2,1],g(t)=t+ 在[a2,1]上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)t=1,即x=0時(shí)f(x)取得最小值為3.

當(dāng)t=a2時(shí),f(x)取得最大值為

此時(shí)f(x)在(﹣∞,2]上的值域是(0, ],沒有最小值.

②若a>1,

當(dāng)x<0時(shí),f(x)= >3;

當(dāng)0≤x≤2時(shí)f(x)=ax+

令t=ax,g(t)=t+ ,則t∈[1,a2].

①若a2 ,g(t)=t+ 在[1,a2]上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)t=a2即x=2時(shí)f(x)取最小值a2+ ,最小值與a有關(guān);

②a2 ,g(t)=t+ 在[1, ]上單調(diào)遞減,在[ ,a2]上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)t= 即x=loga 時(shí)f(x)取最小值2 ,最小值與a無關(guān).

綜上所述,當(dāng)a≥ 時(shí),f(x)在(﹣∞,2]上的最小值與a無關(guān)


【解析】(1)當(dāng)a=10時(shí),f(x)= 按照分段函數(shù)選擇解析式,①當(dāng)x<0時(shí),f(x)= >3.因?yàn)閙>2 .所以當(dāng)2 <m≤3時(shí),方程f(x)=m無解;當(dāng)m>3,由10x= 求解.②當(dāng)x≥0時(shí),10x≥1.由f(x)=m得10x+ =m,轉(zhuǎn)化為(10x2﹣m10x+2=0.求解.(2)根據(jù)題意有g(shù)(x)=a|x|+2ax , x∈[﹣2,+∞),根據(jù)指數(shù)函數(shù),分①當(dāng)a>1時(shí),②當(dāng)0<a<1時(shí),兩種情況分析,每種情況下,根據(jù)絕對值,再按照x≥0時(shí)和﹣2≤x<0兩種情況討論.最后綜合取并集.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的解析式滿足
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)a=1時(shí),試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)當(dāng)a=1時(shí),記函數(shù) ,求函數(shù)g(x)在區(qū)間 上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,g(x)=2x﹣1.
(1)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,試求實(shí)數(shù)b 的取值范圍;
(2)若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過 點(diǎn)A(1, ).
①求函數(shù)y=f(x)的解析式;
②若對任意x<﹣3,都有2k <g(x)成立,試求實(shí)數(shù)k的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= +a是奇函數(shù)
(1)求常數(shù)a的值
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并給出證明
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= +
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)設(shè)F(x)= [f2(x)﹣2]+f(x)(a為實(shí)數(shù)),求F(x)在a<0時(shí)的最大值g(a);
(3)對(2)中g(shù)(a),若﹣m2+2tm+ ≤g(a)對a<0所有的實(shí)數(shù)a及t∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬訂的價(jià)格進(jìn)行試銷得到如下數(shù)據(jù):

單價(jià)x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y(件)

92

82

83

80

75

68


(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程 .其中 =250
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(I)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元每件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在對人們休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查120人,其中女性70人、男性50人,女性中有40人主要的休閑方式是看電視,另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有20人主要的休閑方式是看電視,另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表;
(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下,認(rèn)為休閑方式與性別是否有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表

p(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2= ,n=a+b+c+d.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;

(Ⅲ)求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元,如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元,則他的滿意度為 ;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元,則他的滿意度為 .如果一個(gè)人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為h1和h2 , 則他對這兩種交易的綜合滿意度為 .現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為mAm元和mB元,甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h , 乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h
(1)求h和h關(guān)于mA、mB的表達(dá)式;當(dāng)mA= mB時(shí),求證:h=h;
(2)設(shè)mA= mB , 當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少?

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