Question

【題目】設,()是任意的和為正數的個不同的實數,(.)是這個數的一個排列.若對任意的,有,則稱()是一個“好排列”.求好排列個數的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

一方面,當,噸,均小于0時,易知好排列個數為.

先證明：好排列個數的最小值就是

對任意滿足條件的.將放在圓周上,而圓排列的個數為.

接下來證明：任意一個圓排列均對應于題設所求的一個好排列,且不同的圓排列對應不同的好排列.

設的一個圓排列為 (約定.),定義元好排列()滿足對任意的,,則()為元好排列.

對所有的,取以為第一項的好排列,易知這種好排列是存在的.一個正數就為1元好排列.取好排列中最長的一個,不妨設該好排列的第1項為,長度為,即為好排列.

(l)若,則結論得證.

(2)若,則由的最大性知.

又,故.

設為使的最小的,

則且

均為正數.故()為元好排列.

于是,( ; )為長度大于l的好排列,矛盾.

【注】若()與()有重復項,則去掉中的重復項,同樣可以得到長度大于的好排列.

從而,.

因此,一個圓排列對應一個好排列.又顯然不同的圓排列對應不同的好排列.

綜上,好排列至少有個.