Question

8．已知a＞b，橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，C₁與C₂的離心率之積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則C₂的漸近線方程為$x±\sqrt{2}y=0$．

Answer 1

分析 橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，離心率e₁=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，離心率e₂=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．利用C₁與C₂的離心率之積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得出．

解答 解：橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，離心率e₁=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，離心率e₂=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
∵C₁與C₂的離心率之積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$×$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$1-\frac{^{4}}{{a}^{4}}$=$\frac{3}{4}$，解得$\frac{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴C₂的漸近線方程為$x±\sqrt{2}y=0$．
故答案為：$x±\sqrt{2}y=0$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．