【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)﹣ x.
(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;
(2)設(shè)g(x)=log4(a2x a),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)為R上的偶函數(shù),以下進行證明:

易知,f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱;

因為f(x)=log4(4x+1)﹣ x=log4(4x+1)﹣ = = .,

所以f(﹣x)= =f(x),所以f(x)為R上的偶函數(shù)


(2)解:f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,只需方程 =log4(a2x a)有且只有一個實根,即方程 有且只有一個實根.

令t=2x>0,則方程(a﹣1)t2 at﹣1=0有且只有一個正根

①a=1時t=﹣ ,不合題意;

②若△=0則a= 或者a=﹣3;

若a= ,則t=﹣2,不合題意;若a=﹣3則t= ,符合題意

③若△>0,則方程有兩根,顯然方程沒有零根.

所以依題意知,方程有一個正根與一個負根,即 解得a>1,

綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是{﹣3}∪(1,+∞)


【解析】(1)利用奇偶函數(shù)的定義進行判斷;(2)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,等價于方程 =log4(a2x a)有且只有一個實根,令t=2x>0,則方程(a﹣1)t2 at﹣1=0有且只有一個正根.對系數(shù)a討論,得知.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱).

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