【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn),且,求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的定義與性質(zhì)直接求出, 的值,即可求出橢圓的方程;(Ⅱ)先討論直線斜率不存在的情況,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)斜率存在設(shè)過點(diǎn)的直線的方程,設(shè)與橢圓交于兩點(diǎn)的坐標(biāo),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,由于兩曲線交于兩點(diǎn),故判斷式大于0且可利用根與系數(shù)的關(guān)系建立兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率的等量關(guān)系,再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出,然后綜合計(jì)算即可求得點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析:(Ⅰ)∵ ,∴ .
又由已知,所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)當(dāng)直線與軸垂直時,直線與橢圓交于兩點(diǎn),此時點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為.
∵在直線上,∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則
, .又.
由,得,
即 ①
將代入中,得 ②
由,得.
由②知, , ,
代入①中并化簡,得 ③
∵點(diǎn)在直線上,
∴,代入③中并化簡,得.
由③及,可知,即.
又滿足,故.
由題意, 在橢圓內(nèi)部,所以,又由有
且,則.
所以點(diǎn)的軌跡方程是,其中, ,
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【題目】設(shè)函數(shù) (x∈R),其中t∈R,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)﹣1≤t≤1時,要使關(guān)于t的方程g(t)=kt有且僅有一個實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+1,△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c.
(1)若角A、B、C成等差數(shù)列,求f(B)的值;
(2)若f( ﹣ )= ,邊a、b、c成等比數(shù)列,△ABC的面積S= ,求△ABC的周長.
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【題目】如圖,點(diǎn)P(0,﹣1)是橢圓C1: =1(a>b>0)的一個頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1 , l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積的最大值時直線l1的方程.
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點(diǎn)E在CC1上且C1E=3EC
(1)證明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.
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【題目】已知分別是焦距為的橢圓的左、右頂點(diǎn), 為橢圓上非頂點(diǎn)的點(diǎn),直線的斜率分別為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線(與軸不重合)過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn),直線與交于點(diǎn),試求點(diǎn)的軌跡是否是垂直軸的直線,若是,則求出點(diǎn)的軌跡方程,若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(2)若是函數(shù)圖像上不同的三點(diǎn),且,試判斷與之間的大小關(guān)系,并證明.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2 , 且a3+2是a2 , a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an+log2 ,Sn=b1+b2+…bn , 求使 Sn﹣2n+1+47<0 成立的正整數(shù)n的最小值.
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【題目】《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一,書中有這樣一道題:把120個面包分成5份,使每份的面包數(shù)成等差數(shù)列,且較多的三份之和恰好是較少的兩份之和的7倍,則最少的那份有( )個面包.
A.4
B.3
C.2
D.1
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