Question

【題目】設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）將數(shù)列,中的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，請(qǐng)直接寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記，是否存在正整數(shù) ，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整數(shù)m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11使得b2，bm，bn成等差數(shù)列

【解析】試題分析:(1)利用基本元的思想,將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,解方程組求得 的值,并求得的通項(xiàng)公式.(2)由于是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,且,而是,首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為的等差數(shù)列,故是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故通項(xiàng)公式為.(3) ,先假設(shè)存在這樣的數(shù),利用成等差數(shù)列,化簡(jiǎn)得到,利用列舉法求得的值.

試題解析:

（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?/span>，所以，即，又由得，解得，

所以的通項(xiàng)公式為

(2)

(3),假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使得d5，dm，dn成等差數(shù)列，則d5＋dn＝2dm．

所以＋＝， 化簡(jiǎn)得：2m＝13－．

當(dāng)n－2＝－1，即n＝1時(shí)，m＝11，符合題意；

當(dāng)n－2＝1，即n＝3時(shí)，m＝2，符合題意

當(dāng)n－2＝3，即n＝5時(shí)，m＝5(舍去) ；

當(dāng)n－2＝9，即n＝11時(shí)，m＝6，符合題意．

所以存在正整數(shù)m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11

使得b2，bm，bn成等差數(shù)列．