Question

已知直線l過點(diǎn)P（3，2）．
（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為y=

2

3

x．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為x+y=a，把點(diǎn)（3，2）代入即可得出；
（2）設(shè)直線的方程

x

a

+

y

b

=1，把點(diǎn)P（3，2）代入可得

3

a

+

2

b

=1．利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為y=

2

3

x．
當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為x+y=a，把點(diǎn)（3，2）代入可得3+2=a，可得a=5．∴直線方程為x+y=5．
綜上可得直線方程為：y=

2

3

x，x+y=5．
（2）設(shè)直線的方程

x

a

+

y

b

=1，把點(diǎn)P（3，2）代入可得

3

a

+

2

b

=1．
∴1≥2

3 a × 2 b

，化為ab≥24，當(dāng)且僅當(dāng)

3

a

=

2

b

=

1

2

，即a=6，b=4時(shí)取等號．
∴△ABO的面積的最小值為

1

2

ab=12，此時(shí)直線l的方程為

x

6

+

y

4

=1．

點(diǎn)評：本題考查了直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了分類討論的思想方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．