【題目】已知是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對每一個正整數(shù)，該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數(shù)列的通項公式為．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義可直接求得，從而可計算.

（2）先證明充分性，可根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到，從而可得，再證明必要性，先從可得，再根據(jù)可得，依次類推可以得到，從而得到數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列.

（3）當(dāng)時，我們得到，就全為零和不全為零分類討論即可.

（1）當(dāng)，數(shù)列是遞減數(shù)列，最大為，

又，

所以， ，所.

（2）充分性：數(shù)列單調(diào)遞增，則，

則，

所以.

必要性：對于數(shù)列， 即，

當(dāng)時，，所以，

當(dāng)時，，，所以，

同理即數(shù)列單調(diào)遞增，

故“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件．

（3）當(dāng)時，，因為，所以，

所以，

若設(shè)全為零，則，

時，故，其中任意的.

若不全為零，設(shè)諸中第一個為零的記為，

則中，即，

其中，所以，

因為，所以對任意的總成立，

所以，下面考慮，

因為即，

因為，所以，

故對任意的，總有，

則，因為，

所以，這與任意的，總有矛盾，

所以不全為零不成立，

所以，其中任意的.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為 ①的形式，其中m為非負整數(shù)，（，），.試求①中的數(shù)列嚴格單調(diào)遞增或嚴格單調(diào)遞減的所有正整數(shù)n的和.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線與拋物線交于，兩點，且.

（1）求的方程；

（2）試問：在軸的正半軸上是否存在一點，使得的外心在上？若存在，求的坐標；若不存在，請說明理由..

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

（本題滿分15分）已知m＞1，直線，

橢圓，分別為橢圓的左、右焦點.

（Ⅰ）當(dāng)直線過右焦點時，求直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，，

的重心分別為.若原點在以線段

為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中），，已知和在處有相同的切線．

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，動圓與圓外切，與圓內(nèi)切．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）直線過點且與動圓圓心的軌跡交于、兩點．是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知梯形中，,,,,是上的點，是的中點，沿將梯形折起，使平面平面.

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）記以為頂點的三棱錐的體積為，求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時，求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知半圓：，、分別為半圓與軸的左、右交點，直線過點且與軸垂直，點在直線上，縱坐標為，若在半圓上存在點使，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案