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【題目】已知為雙曲線的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,并在軸上方交雙曲線于點,且.

(1)求雙曲線的方程;

(2)過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線,垂足分別是,試求的值;

(3)過圓上任意一點作切線交雙曲線兩個不同點,中點為,證明:.

【答案】(1);(2);(3)見解析

【解析】分析:(1) 在直角三角形中,,解得,從而可得雙曲線的方程;(2)確定兩條漸近線方程,設雙曲線上的點,求出點到兩條漸近線的距離,利用在雙曲線,及向量的數量積公式,結合即可求得結論;(3)分類討論: ①當切線的斜率存在,設切錢的方程代入雙曲線,利用韋達定理、弦長公式以及點到直線距離公式,結合直線與圓相切可得成立;②當切線的斜率不存在時求出的坐標,即可得到結論.

詳解(1)根據已知條件,∴焦點坐標為,

軸,∴

在直角三角形中,,解得

于是所求雙曲線方程為.

(2)根據(1)易得兩條雙曲線漸近線方程分別為,,設點,則,

在雙曲線上,所以

于是.

(3)①當直線的斜率不存在時,則,于是,此時,即命題成立.

②當直線的斜率存在時,設的方程為切線的交點坐標為,

于是有消去化成關于的二次為.

的中點,∴

坐標為

,

又點到直線的距離為.代入得:

,,故得證.

練習冊系列答案
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