【題目】已知定點，定直線： ，動圓過點，且與直線相切.

（Ⅰ）求動圓的圓心軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線相交于， 兩點，分別過點， 作曲線的切線， ，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，由化簡即可得結(jié)論；（Ⅱ）由題意的外接圓直徑是線段，設(shè)： ，與 聯(lián)立得，從而得， 時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點到直線的距離為，依題意.

設(shè)，則有 .

化簡得.

所以點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）設(shè)： ，

代入中，得.

設(shè)， ，

則， .

所以 .

因為： ，即，所以.

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因為，

所以，即為直角三角形.

所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是直徑.

因為，

所以當時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.

【方法點晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題（Ⅰ）就是利用方法①求圓心軌跡方程的.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正三棱錐，已知，

（1）求此三棱錐內(nèi)切球的半徑.

（2）若是側(cè)面上一點，試在面上過點畫一條與棱垂直的線段，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足： ，

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，數(shù)列的前項和為 , 成立的正整數(shù)的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知| |=1，| |= ．
（1）若 ∥ ，求 ；
（2）若 ， 的夾角為135°，求| |；
（3）若 ﹣ 與 垂直，求 與 的夾角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（是大于的常數(shù)）的左、右頂點分別為、，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線、與直線分別交于、兩點（設(shè)直線的斜率為正數(shù)）.

（Ⅰ）設(shè)直線、的斜率分別為， ，求證為定值.

（Ⅱ）求線段的長度的最小值.

（Ⅲ）判斷“”是“存在點，使得是等邊三角形”的什么條件？（直接寫出結(jié)果）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線，直線（其中）與曲線相交于、兩點.

（Ⅰ）若，試判斷曲線的形狀.

（Ⅱ）若，以線段、為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在曲線上， 為坐標原點，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是一段圓錐曲線，曲線與兩個坐標軸的交點分別是， ， .

（Ⅰ）若該曲線表示一個橢圓，設(shè)直線過點且斜率是，求直線與這個橢圓的公共點的坐標.

（Ⅱ）若該曲線表示一段拋物線，求該拋物線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的命題有（ ）個

（1）如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面

（2）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

（3）如果平面平面，平面平面， ，那么平面

（4）如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對一切實數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個承托函數(shù)，給出如下命題：

①函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)；

②函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)；

③若函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)，則的取值范圍是；

④值域是的函數(shù)不存在承托函數(shù).

其中正確的命題的個數(shù)為__________．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案