【題目】已知動點P是△PMN的頂點,M(﹣2,0),N(2,0),直線PM,PN的斜率之積為﹣ .
(1)求點P的軌跡E的方程;
(2)設四邊形ABCD的頂點都在曲線E上,且AB∥CD,直線AB,CD分別過點(﹣1,0),(1,0),求四邊形ABCD的面積為時,直線AB的方程.
【答案】(1)(x≠±2);(2)x±y+1=0.
【解析】
(1)設點P(x,y),直接把已知條件用坐標表示并化簡即可;
(2)設直線AB的方程為x=my﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),由直線與橢圓相交弦長公式(應用韋達定理計算)求出弦長,交求出原點到直線距離,表示出面積,由對稱性知四邊形ABCD的面積是面積的4倍,從而可以求出.
解:(1)設點P(x,y),
∵直線PM與PN的斜率之積為﹣,
即==﹣,
化簡得(x≠±2),
∴動點P的軌跡E的方程為(x≠±2);
(2)設直線AB的方程為x=my﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,
則 , y1+y2=,,
|y1﹣y2|==,
∴|AB|==,
又原點O到直線AB的距離d=,
∴S△ABO=×=,
由圖形的對稱性可知,SABCD=4S△ABO,
∴SABCD==,
化簡得18m4﹣m2﹣17=0,
解得m2=1,即m=±1,
∴直線AB的方程為x=±y﹣1,即x±y+1=0.
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【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=,求△ABC的面積.
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【題目】2018年遼寧省正式實施高考改革.新高考模式下,學生將根據(jù)自己的興趣、愛好、學科特長和高校提供的“選考科目要求”進行選課.這樣學生既能尊重自己愛好、特長做好生涯規(guī)劃,又能發(fā)揮學科優(yōu)勢,進而在高考中獲得更好的成績和實現(xiàn)自己的理想.考改實施后,學生將在高二年級將面臨著的選課模式,其中“3”是指語、數(shù)、外三科必學內(nèi)容,“1”是指在物理和歷史中選擇一科學習,“2”是指在化學、生物、地理、政治四科中任選兩科學習.某校為了更好的了解學生對“1”的選課情況,學校抽取了部分學生對選課意愿進行調(diào)查,依據(jù)調(diào)查結(jié)果制作出如下兩個等高堆積條形圖:根據(jù)這兩幅圖中的信息,下列哪個統(tǒng)計結(jié)論是不正確的( )
A.樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量
B.樣本中有學物理意愿的學生數(shù)量多于有學歷史意愿的學生數(shù)量
C.樣本中的男生偏愛物理
D.樣本中的女生偏愛歷史
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【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足.
(1)求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點,若以PQ直徑的圓恰過原點,求出直線方程.
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【題目】《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作.其中的一道題“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.問:得幾何?”意思是:“有一塊棱長為3尺的正方體方木,要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭,可作多少個?”現(xiàn)有這樣的一個正方體木料,其外周已涂上油漆,則從切割后的正方體枕頭中任取一塊,恰有一面涂上油漆的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓的左焦點為,是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個動點,當點的坐標為時,的周長恰為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線交橢圓于兩點,且 ,求面積的取值范圍.
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【題目】“工資條里顯紅利,個稅新政人民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.2019年1月1日實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.
新舊個稅政策下每月應納稅所得額(含稅)計算方法及其對應的稅率表如下:
舊個稅稅率表(個稅起征點3500元) | 新個稅稅率表(個稅起征點5000元) | |||
繳稅級數(shù) | 每月應納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點 | 稅率(%) | 每月應納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除 | 稅率(%) |
1 | 不超過1500元部分 | 3 | 不超過3000元部分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元部分 | 10 | 超過3000元至12000元部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超過9000元至35000元的部分 | 25 | 超過25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超過35000元至55000元部分 | 30 | 超過35000元至55000元部分 | 30 |
··· | ··· | ··· | ··· | ··· |
隨機抽取某市1000名同一收入層級的從業(yè)者的相關(guān)資料,經(jīng)統(tǒng)計分析,預估他們2019年的人均月收入24000元.統(tǒng)計資料還表明,他們均符合住房專項扣除;同時,他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1;此外,他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為:住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,贍養(yǎng)老人2000元/月等。
假設該市該收入層級的從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除,將預估的該市該收入層級的從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想,解決如下問題:
(1)設該市該收入層級的從業(yè)者2019年月繳個稅為元,求的分布列和期望;
(2)根據(jù)新舊個稅方案,估計從2019年1月開始,經(jīng)過多少個月,該市該收入層級的從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2019年的月收入?
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【題目】以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為(,a為常數(shù))),過點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程滿足,(為參數(shù)).
(1)求曲線C的普通方程和直線的參數(shù)方程;
(2)若直線與曲線C相交于A、B兩點(點P在A、B之間),且,求和的值.
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