【題目】已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且，平面，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)為，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)求解兩平面法向量之間夾角的余弦值，從而求得二面角夾角的余弦值.

（1）證明：∵，，∴是中點(diǎn)，

取中點(diǎn)，連，，如下圖所示：

則在菱形中，，//

∵，//，∴，//，

∴四邊形為平行四邊形，∴//，

又，//，∴四邊形為平行四邊形，

∴//，∴//，

又平面，平面，

∴//平面.即證.

（2）以為原點(diǎn)，以分別為建立如圖所示的空間的直角坐標(biāo)系.

因?yàn)橐阎撍睦庵鶠橹彼睦庵?/span>，，

所以為等邊三角形.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).

故點(diǎn)，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量為，，.

由得

取，得，，

故.

∵，，，

∴，∴是平面的法向量，

設(shè)平面和平面所成銳角為，

則.

即平面和平面所成銳角的余弦值為.

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A.，，，在同一個(gè)球面上

B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為

C.與是異面直線且不垂直

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心情 性別

男

女

總計(jì)

正常

30

40

70

焦慮

270

160

430

總計(jì)

300

200

500

（1）根據(jù)該校調(diào)查數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為“該學(xué)校學(xué)生的考前焦慮情況與性別有關(guān)”？

（2）若從考前心情正常的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取7人，再?gòu)谋怀槿〉?/span>7人中隨機(jī)抽取2人，求這兩人中有女生的概率.

附：,.

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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A.6B.5C.4D.3

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