Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

已知圓的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和圓的極坐標方程；

（2）求直線與圓的交點的極坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】分析：(1)由圓C的參數方程消去得到圓C的普通方程，之后應用極坐標與平面直角坐標之間的關系式求得圓C的極坐標方程，利用極坐標與直角坐標的關系將直線的極坐標方程化為平面直角坐標方程，從而求得結果；

(2)該題有兩種方法，一種是聯(lián)立直線與圓的平面直角坐標方程，解方程組求得交點的坐標，之后將平面直角坐標轉化為極坐標，從而求得結果，一種是聯(lián)立直線與圓的極坐標方程，解方程組求得結果.

詳解：（1）由得：，

所以直線的普通方程為；

因為圓的參數方程為（為參數），

所以圓的普通方程為，

即，

所以，即，

所以圓的極坐標方程為.

（2）解法一：

聯(lián)立解得：或，

直線與圓的交點的直角坐標為：，，

所以直線與圓的交點的極坐標為：，.

解法二：

聯(lián)立消得：

，

即，

所以，

即，

所以或，即，

所以或，

當時，

當時，

所以直線與圓的交點的極坐標為：，.