Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.

（1）求平面與平面所成的銳二面角的大��；

（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計(jì)算即可；

（2）求出，利用計(jì)算即可.

（1）分別取的中點(diǎn)為，連結(jié).

因?yàn)?/span>∥，所以∥.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，

所以

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，平面，

所以平面，

所以兩兩垂直.

以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，則，

，.

設(shè)平面的法向量為，則，即.

取，則，所以.

又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則

，

所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.

（2）由（1）得，平面的法向量為，

所以成.

又直線與平面所成角為，

所以，即，

即，

化簡(jiǎn)得，所以，符合題意.