【題目】如圖,已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切點(diǎn),過(guò)PM的中點(diǎn)N,作割線NAB,交圓于A,B兩點(diǎn),連接PA并延長(zhǎng),交圓O于點(diǎn)C,連續(xù)PB交圓O于點(diǎn)D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
【答案】
(1)證明:∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點(diǎn),
∴MN2=PN2=NANB,
∴ = ,
又∵∠PNA=∠BNP,
∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.
∵M(jìn)C=BC,
∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP
(2)證明:∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.
∵△APM∽△ABP,
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圓O的切線,
∴∠PMA=∠MCP,
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,
∴四邊形PMCD是平行四邊形
【解析】(1)由切割線定理,及N是PM的中點(diǎn),可得PN2=NANB,進(jìn)而 = ,結(jié)合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,則∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的補(bǔ)角相等可得∠MAP=∠PAB,進(jìn)而得到△APM∽△ABP(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圓O的切線,可證得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n﹣1+a2n<0”的條件.(填“充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、即不充分也不必要條件”)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義數(shù)列,如果存在常數(shù),使對(duì)任意正整數(shù),總有,那么我們稱數(shù)列為“—擺動(dòng)數(shù)列”.
()設(shè), , ,判斷數(shù)列, 是否為“—擺動(dòng)數(shù)列”,并說(shuō)明理由;
(2)已知“—擺動(dòng)數(shù)列”滿足: ,求常數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列命題:
①函數(shù)的圖象與的圖象恰有個(gè)公共點(diǎn);
②函數(shù)有個(gè)零點(diǎn);
③若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)與的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱;
④函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象水平向右平移一個(gè)單位后,將所得圖象在軸右側(cè)部分沿軸翻折到軸左側(cè)替代軸左側(cè)部分圖象,并保留右側(cè)部分而得到的.其中錯(cuò)誤的命題有___________.(填寫所有錯(cuò)誤的命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95)由此得到頻率分布直方圖如圖.則產(chǎn)品數(shù)量位于[55,65)范圍內(nèi)的頻率為;這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cosxsin(x+)﹣cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別a,b,c,若f(A)=,a=,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為正整數(shù),數(shù)列滿足, ,設(shè)數(shù)列滿足
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)的值;
(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,均存在,使得成立,求滿足條件的所有整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中裝有5張編號(hào)依次為1、2、3、4、5的卡片,這5 張卡片除號(hào)碼外完全相同.現(xiàn)進(jìn)行有放回的連續(xù)抽取2 次,每次任意地取出一張卡片.
(1)求出所有可能結(jié)果數(shù),并列出所有可能結(jié)果;
(2)求事件“取出卡片號(hào)碼之和不小于7 或小于5”的概率.
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