試題分析:(1)要證直線與平面垂直,只須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可,注意到QA⊥平面ABCD,所以有平面PDAQ⊥平面ABCD,且交線為AD,又因為四邊形ABCD為正方形,由面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥平面PDAQ,從而有PQ⊥DC,又因為PD∥QA,且QA=AB=
PD ,所以四邊形PDAQ為直角梯形,利用勾股定理的逆定理可證PQ⊥QD;從而可證 PQ⊥平面DCQ;(2)設(shè)AB=a,則由(1)及已知條件可用含a的式子表示出棱錐Q-ABCD的體積和棱錐P-DCQ的體積從而就可求出其比值.
試題解析:(1)證明:由條件知PDAQ為直角梯形.
因為QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線為AD.
又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=
PD,
則PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高,所以棱錐Q-ABCD的體積V
1=
a
3.
由(1)知PQ為棱錐P-DCQ的高,而PQ=
a,△DCQ的面積為
a
2,
所以棱錐P-DCQ的體積V
2=
a
3.
故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1.