【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c、0)分別是橢圓G: + =1(0<b<a<3)的左、右焦點,點P(2, )是橢圓G上一點,且|PF1|﹣|PF2|=a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)設直線l與橢圓G相交于A、B兩點,若 ⊥ ,其中O為坐標原點,判斷O到直線l的距離是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.
【答案】
(1)解:由橢圓的定義可知:|PF1|+|PF2|=2a.由|PF1|﹣|PF2|=a.
∴丨PF1丨= a=3|PF2|,
則 =3 ,化簡得:c2﹣5c+6=0,
由c<a<3,
∴c=2,
則丨PF1丨=3 = a,則a=2 ,
b2=a2﹣c2=4,
∴橢圓的標準方程為: ;
(2)解:由題意可知,直線l不過原點,設A(x1,x2),B(x2,y2),
①當直線l⊥x軸,直線l的方程x=m,(m≠0),且﹣2 <m<2 ,
則x1=m,y1= ,x2=m,y2=﹣ ,
由 ⊥ ,
∴x1x2+y1y2=0,即m2﹣(4﹣ )=0,
解得:m=± ,
故直線l的方程為x=± ,
∴原點O到直線l的距離d= ,
②當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+n,
則 ,消去y整理得:(1+2k2)x2+4knx+2n2﹣8=0,
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
則y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2= ,
由 ⊥ ,
∴x1x2+y1y2=0,故 + =0,
整理得:3n2﹣8k2﹣8=0,即3n2=8k2+8,①
則原點O到直線l的距離d= ,
∴d2=( )2= = ,②
將①代入②,則d2= = ,
∴d= ,
綜上可知:點O到直線l的距離為定值 .
【解析】(1)根據橢圓的定義,求得丨PF1丨= a=3|PF2|,根據點到直線的距離公式,即可求得c的值,則求得a的值,b2=a2﹣c2=4,即可求得橢圓方程;(2)當直線l⊥x軸,將直線x=m代入橢圓方程,求得A和B點坐標,由向量數量積的坐標運算,即可求得m的值,求得O到直線l的距離;當直線AB的斜率存在時,設直線方程,代入橢圓方程,由韋達定理及向量數量積的坐標運算,點到直線的距離公式,即可求得O到直線l的距離為定值.
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【題目】我國古代數學著作《九章算術》有如下問題:“今有器中米,不知其數,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問,米幾何?”如圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=1.5(單位:升),則輸入k的值為( )
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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【題目】已知圓C:(x﹣6)2+(y﹣8)2=1和兩點A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若對圓上任意一點P,都有∠APB<90°,則m的取值范圍是( )
A.(9,10)
B.(1,9)
C.(0,9)
D.(9,11)
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【題目】已知函數f(x)= (a∈R),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直. (Ⅰ)試比較20162017與20172016的大小,并說明理由;
(Ⅱ)若函數g(x)=f(x)﹣k有兩個不同的零點x1 , x2 , 證明:x1x2>e2 .
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【題目】若曲線f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分別存在點A、B,使得△OAB是以原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在y軸上,則實數a的取值范圍是( )
A.(e,e2)
B.(e, )
C.(1,e2)
D.[1,e)
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【題目】設函數,則f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ ),則( )
A.y=f(x)在(0, )單調遞增,其圖象關于直線x= 對稱
B.y=f(x)在(0, )單調遞增,其圖象關于直線x= 對稱
C.y=f(x)在(0, )單調遞減,其圖象關于直線x= 對稱
D.y=f(x)在(0, )單調遞減,其圖象關于直線x= 對稱
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為 (t是參數),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=8cos(θ﹣ ).
(1)求曲線C2的直角坐標方程,并指出其表示何種曲線;
(2)若曲線C1與曲線C2交于A,B兩點,求|AB|的最大值和最小值.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,已知點R的極坐標為(2 , ),曲線C的參數方程為 (θ為參數).
(1)求點R的直角坐標,化曲線C的參數方程為普通方程;
(2)設P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值,及此時P點的直角坐標.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分線段PC,且分別交AC,PC于D,E兩點,PB=BC,PA=AB=1.
(1)求證:PC⊥平面BDE;
(2)求直線BE與平面PAC所成角的余弦值.
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