如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:A1B平面ADC1
(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定E點(diǎn)位置,若不存在,說明理由.
(Ⅰ)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD.
由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).
又D為BC中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC中位線,
所以A1BOD,
因?yàn)镺D?平面ADC1,A1B?平面ADC1,
所以A1B平面ADC1.…(4分)
(Ⅱ)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,
故BA,BC,BB1兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz.設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0).
所以
AD
=(1,-2,0)
,
AC1
=(2,-2,1)

設(shè)平面ADC1的法向量為
n
=(x,y,z),則有
n
AD
=0
n
AC1
=0

所以
x-2y=0
2x-2y+z=0.
取y=1,得
n
=(2,1,-2).
平面ADC的法向量為
v
=(0,0,1).
由二面角C1-AD-C是銳角,得cos<
n
,
v
>=
|
n
v
|
|
n
||
v
|
=
2
3
.…(8分)
所以二面角C1-AD-C的余弦值為
2
3

(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.
因?yàn)镋在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可設(shè)E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.
所以
AE
=(0,λ-2,1)
,
DC1
=(1,0,1)

因?yàn)锳E與DC1成60°角,所以|
AE
DC1
|
AE
||
DC1
|
|=
1
2

|
1
(λ-2)2+1
2
|=
1
2
,解得λ=1,舍去λ=3.
所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1中點(diǎn)時(shí),AE與DC1成60°角.…(12分)
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SC
OB
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2
,點(diǎn)E、F分別是面A1C1、面BC1的中心.
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四棱錐S-ABCD,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠DAB=135°,BC=2
2
,SB=SC=AB=2,F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:SD平面CFA;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角大。

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A.B.C.D.10

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已知為平行四邊形,若向量,,則向量為(   )
A.B.C.D.

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