四棱錐S-ABCD,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠DAB=135°,BC=2
2
,SB=SC=AB=2,F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:SD平面CFA;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角大。
(Ⅰ)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E,連結(jié)EF,
∵底面ABCD為平行四邊形,∴E為BD的中點(diǎn).(2分)
在△BSD中,∵F為SB的中點(diǎn),∴EFSD,(3分)
又∵EF?面CFA,SD?面CFA,∴SD平面CFA.(5分)
(Ⅱ)以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),
分別以O(shè)A,OC,OS為x,y,z軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系.
∵∠DAB=135°,BC=2
2
,SB=SC=AB=2,F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn),
A(
2
,0,0)
,B(0,-
2
,0)
,S(0,0,
2
)
,C(0,
2
,0)
,
SA
=(
2
,0,-
2
)
SB
=(0,-
2
,-
2
)
,
CS
=(0,-
2
2
)
,
CD
=
BA
=(
2
,
2
,0)
,(7分)
設(shè)平面SAB的一個法向量為
n1
=(x,y,z)

n1
SA
=0
n1
SB
=0
,得
2
x-
2
z=0
-
2
y-
2
z=0
,
令z=1得:x=1,y=-1,∴
n1
=(1,-1,1)
.(9分)
同理設(shè)平面SCD的一個法向量為
n2
=(a,b,c)

n2
CD
=0
n2
CS
=0
,得
2
a+
2
b=0
-
2
b+
2
c=0
,
令b=1得:a=-1,c=1,
n2
=(-1,1,1)
.(10分)
設(shè)面SCD與面SAB所成二面角為θ
cosθ=|cos<
n1
,
n2
>|=|
n1
n2
|
n1
||
n2
|
|
=
1
3

θ=arccos
1
3
.(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,ABCD,AD⊥AB,AD=AB=
1
2
CD=1,PD⊥面ABCD,PD=
2
,E是PC的中點(diǎn)
(1)證明:BE面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小為30°,求AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′,四邊形ABCD是菱形,其中E為BD的中點(diǎn).
(1)求證:C′E面AB′D′;
(2)求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值;
(3)求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:A1B平面ADC1
(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定E點(diǎn)位置,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)是已知的平面向量,向量,,在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,有如下四個命題:
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量,總存在實(shí)數(shù),使;
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使;
④若=2,存在單位向量、和正實(shí)數(shù),,使,則
其中真命題是____________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線的右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A、F,點(diǎn)B(0,-b),
,則雙曲線的離心率值為( )
(A)  (B)  (C)   (D)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知關(guān)于的方程有,則
A.B.C.D.無解

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知,,,且,則         

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同步練習(xí)冊答案