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如圖,在長方體AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
,點E、F分別是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求異面直線AF和BE所成的角;
(2)求直線AF和平面BEC所成角的余弦值.
(1)如圖,以D為坐標原點DA、DC、DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則:A(2,0,0),F(xiàn)(1,2,
2
2

B(2,2,0),E(1,1,
2
),C(0,2,0)
AF
=(-1,2,
2
2
),
BE
=(-1,-1,
2
)
,
AF
BE
=1-2+1=0
所以AF和BE所成的角為90°,
(2)設平面BEC的一個法向量為
n
=(x,y,z)
,又
BC
=(-2,0,0)
BE
=(-1,-1,
2
)
,
則:
n
BC
=-2x=0
n
BE
=-x-y+
2
z=0

∴x=0,令z=1,則:y=
2
n
=(0,
2
,1)

cos<
AF
,
n
>=
AF
n
|
AF
|•|
n
|
=
5
2
2
22
2
×
3
=
5
33
33

設直線AF和平面BEC所成角為θ則:Sinθ=
5
33
33

cosθ=
2
66
33

即直線AF和平面BEC所成角的余弦值為
2
66
33

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直,AD⊥AB,BC⊥AB,AB=BC=2,AD=1.若E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點.
(1)求|
SC
+
SD
|的值;
(2)求面SCD與面SAB所成的二面角大。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA=AB=1,PB=PD=
2
,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-AC-E的余弦值;
(3)在棱PC上是否存在一點F,使得BF平面ACE.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點.
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小為30°,求AB的長.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,P是底面A1B1C1D1的中心,M是CD的中點,則P到平面AMD1的距離為______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′,四邊形ABCD是菱形,其中E為BD的中點.
(1)求證:C′E面AB′D′;
(2)求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值;
(3)求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點.
(Ⅰ)求證:A1B平面ADC1;
(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)試問線段A1B1上是否存在點E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定E點位置,若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

是已知的平面向量,向量,,在同一平面內且兩兩不共線,有如下四個命題:
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量,總存在實數,使;
③給定單位向量和正數,總存在單位向量和實數,使;
④若=2,存在單位向量和正實數,,使,則
其中真命題是____________.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,+,則λ=    

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