【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分別是線段ADPB的中點,PAAB1.

(1)證明:EF∥平面PDC;

(2)求點F到平面PDC的距離.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】

1)把向上平移,重合,則應(yīng)在上,因此得輔助線作法,取中點,連接,只要證明即可證線面平行;

2)由(1)只要求到平面的距離即可,這可用體積法求解,即

(1)證明取PC的中點M,連接DM,MF,

M,F分別是PCPB的中點,∴MFCB,MFCB,

EDA的中點,四邊形ABCD為正方形,

DECB,DECB,

MFDE,MFDE,∴四邊形DEFM為平行四邊形,

EFDM,∵EF平面PDC,DM平面PDC,

EF∥平面PDC.

(2)解∵EF∥平面PDC,∴點F到平面PDC的距離等于點E到平面PDC的距離.

PA⊥平面ABCD,∴PADA,在RtPAD中,PAAD1,∴DP.

PA⊥平面ABCD,∴PACB,∵CBAB,PAABA,∴CB⊥平面PAB,

CBPB,則PC,∴PD2DC2PC2,

∴△PDC為直角三角形,

SPDC.

連接EP,EC,易知VEPDCVCPDE,設(shè)E到平面PDC的距離為h,

CDAD,CDPA,ADPAA,∴CD⊥平面PAD

×h××1×××1,∴h,

∴點F到平面PDC的距離為.

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