【題目】如圖,直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2,,分別是,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得,證得,,即可求解;
(2)由(1)得到,即為平面的一個(gè)法向量,結(jié)合向量的夾角公式,即可求解;
(3)求得平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)如圖所示,取的中點(diǎn),連接,
由直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2,是中點(diǎn),,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
由分別為的中點(diǎn),可得,可得,,兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
可得,,
∵,,∴,,
又,∴平面.
(2)由(1)可得平面,則,即為平面的一個(gè)法向量,
又由,
設(shè)直線與平面所成的角為,
可得,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
(3)設(shè)平面的法向量,
因?yàn)?/span>,可得 ,即,
不妨取,得.
設(shè)二面角的平面角為,
由,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年月日,某地援鄂醫(yī)護(hù)人員,,,,,,人(其中是隊(duì)長(zhǎng))圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務(wù)返回本地,他們受到當(dāng)?shù)厝罕娕c領(lǐng)導(dǎo)的熱烈歡迎.當(dāng)?shù)孛襟w為了宣傳他們的優(yōu)秀事跡,讓這名醫(yī)護(hù)人員和接見(jiàn)他們的一位領(lǐng)導(dǎo)共人站一排進(jìn)行拍照,則領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長(zhǎng)站在兩端且相鄰,而不相鄰的排法種數(shù)為( )
A.種B.種C.種D.種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取五場(chǎng)三勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,比賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為,客場(chǎng)取勝的概率為,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)不超過(guò)場(chǎng)即獲勝的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將n×n的棋盤(pán)的部分結(jié)點(diǎn)(單位正方形的頂點(diǎn))染紅,使得任意一個(gè)由單位正方形構(gòu)成的k×k的子棋盤(pán)的邊界上至少有一個(gè)紅點(diǎn).記滿足條件的紅點(diǎn)數(shù)的最小值為. 試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公交公司為了方便市民出行、科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放,在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間(分鐘)與乘客等候人數(shù)(人)之間的關(guān)系,經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
間隔時(shí)間(分鐘) | ||||||
等候人數(shù)(人) |
調(diào)查小組先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)的差,若差值的絕對(duì)值不超過(guò),則稱所求線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
(1)從這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取組數(shù)據(jù)后,求剩下的組數(shù)據(jù)的間隔時(shí)間之差大于的概率;
(2)若選取的是后面組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;
(3)在(2)的條件下,為了使等候的乘客不超過(guò)人,則間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少分鐘?(精確到整數(shù))
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(4,t)到其焦點(diǎn)F的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作直線l,使得拋物線C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線1的距離為2,求直線1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年月日,某地援鄂醫(yī)護(hù)人員,,,,,,人(其中是隊(duì)長(zhǎng))圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務(wù)返回本地,他們受到當(dāng)?shù)厝罕娕c領(lǐng)導(dǎo)的熱烈歡迎.當(dāng)?shù)孛襟w為了宣傳他們的優(yōu)秀事跡,讓這名醫(yī)護(hù)人員和接見(jiàn)他們的一位領(lǐng)導(dǎo)共人站一排進(jìn)行拍照,則領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長(zhǎng)站在兩端且相鄰,而不相鄰的排法種數(shù)為( )
A.種B.種C.種D.種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了改善市民的生活環(huán)境,信陽(yáng)市決定對(duì)信陽(yáng)市的1萬(wàn)家中小型化工企業(yè)進(jìn)行污染情況摸排,并出臺(tái)相應(yīng)的整治措施.通過(guò)對(duì)這些企業(yè)的排污口水質(zhì),周邊空氣質(zhì)量等的檢驗(yàn),把污染情況綜合折算成標(biāo)準(zhǔn)分100分,發(fā)現(xiàn)信陽(yáng)市的這些化工企業(yè)污染情況標(biāo)準(zhǔn)分基本服從正態(tài)分布N(50,162),分值越低,說(shuō)明污染越嚴(yán)重;如果分值在[50,60]內(nèi),可以認(rèn)為該企業(yè)治污水平基本達(dá)標(biāo).
(1)如圖是信陽(yáng)市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標(biāo)準(zhǔn)分的頻率分布直方圖,請(qǐng)計(jì)算這個(gè)工業(yè)區(qū)被調(diào)查的化工企業(yè)的污染情況標(biāo)準(zhǔn)分的平均值,并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達(dá)標(biāo);
(2)大量調(diào)査表明,如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn),那么標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)每月對(duì)周邊造成的直接損失約為10萬(wàn)元,標(biāo)準(zhǔn)分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè)每月對(duì)周邊造成的直接損失約為4萬(wàn)元.長(zhǎng)沙市決定關(guān)停80%的標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)和60%的標(biāo)準(zhǔn)分在[18,34)內(nèi)的化工企業(yè),每月可減少的直接損失約有多少?
(附:若隨機(jī)變量,則, ,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若在內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為,,證明:.
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