【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最小值；

（2）若存在兩個不同的實數(shù)，使得，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）對進行求導，得到其單調性，在上單調遞減，在上單調遞增，對導函數(shù)的零點與所給區(qū)間的關系進行討論，即分為，和三種情形，根據(jù)單調性求得最值；（2）令，易得當時，，設，，故，根據(jù)單調性得證.

試題解析：（1）根據(jù)題意，得，當時，；當時.

故在上單調遞減，在上單調遞增.

當，即時，在上單調遞減，；

當，即時，；

當時，在上單調遞增，.

所以.

（2）構造函數(shù)，

則.

因為，所以，函數(shù)單調遞增，

所以，

所以在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調遞增，

所以，所以當時，.

根據(jù)（1）中的性質，若存在兩個不同的實數(shù)，使得，不妨設，則一定有，，當時，，

所以，

因為在上單調遞增，所以，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若對于定義在上的連續(xù)函數(shù)，存在常數(shù)（），使得對任意的實數(shù)成立，則稱是回旋函數(shù)，且階數(shù)為.

（1）試判斷函數(shù)是否是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說明理由；

（2）已知是回旋函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）若回旋函數(shù)（）在恰有100個零點，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年利潤（單位：萬元）的影響，對近5年的宣傳費和年利潤（）進行了統(tǒng)計，列出了下表：

（單位：千元）

2

4

7

17

30

（單位：萬元）

1

2

3

4

5

員工小王和小李分別提供了不同的方案．

（1）小王準備用線性回歸模型擬合與的關系，請你幫助建立關于的線性回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）

（2）小李決定選擇對數(shù)回歸模型擬合與的關系，得到了回歸方程：，并提供了相關指數(shù)．請用相關指數(shù)說明選擇哪個模型更合適，并預測年宣傳費為4萬元的年利潤．（精確到0.01）（小王也提供了他的分析分析數(shù)據(jù)）

參考公式：相關指數(shù)

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

，．參考數(shù)據(jù)：，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當a=﹣2時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若g(x)= +在1，+∞)上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點．

（Ⅰ）求證：PA∥平面EBD；

（Ⅱ）求二面角EBDP的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠每日生產某種產品噸，當日生產的產品當日銷售完畢，產品價格隨產品產量而變化，當時，每日的銷售額（單位：萬元）與當日的產量滿足，當日產量超過噸時，銷售額只能保持日產量噸時的狀況.已知日產量為噸時銷售額為萬元，日產量為噸時銷售額為萬元.

（1）把每日銷售額表示為日產量的函數(shù)；

（2）若每日的生產成本（單位：萬元），當日產量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大？并求出最大值.（注：計算時取）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）若存在，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（I）求證：恒成立；

（II）若存在實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列4個命題：

①為了了解800名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔為40；

②四邊形為長方形，，，為中點，在長方形內隨機取一點，取得的點到的距離大于1的概率為；

③把函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得到的圖象；

④已知回歸直線的斜率的估計值為，樣本點的中心為，則回歸直線方程為.

其中正確的命題有__________．(填上所有正確命題的編號)

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