【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=2,AD= ,∠DAB= ,PD⊥AD,PD⊥DC.
(Ⅰ)證明:BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P﹣BC﹣D為 ,求AP與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明:∵AB=2,AD= ,∠DAB= , ∴BD= =1
∴AB2=AD2+BD2 , ∴AD⊥BD,∴BC⊥BD
∵PD⊥AD,PD⊥DC,∴PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)解:由(1)所證,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即為二面角P﹣BC﹣D的平面角,即∠PBD=
而BD=1,所以PD= ,
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A( ,0,0),B(0,1,0),C(﹣ ,1,0),P(0,0, )
所以 =(﹣ ,0, ), =(﹣v,0,0), =(0,﹣1, ),
設(shè)平面PBC的法向量為 =(a,b,c),∴
可解得 =(0, ,1),
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=| |= .
【解析】(Ⅰ)證明BC⊥BD,PD⊥BC,即可證明BC⊥平面PBD;(Ⅱ)確定∠PBD即為二面角P﹣BC﹣D的平面角,分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量及平面PBC的法向量,利用向量的數(shù)量積公式,即可求得AP與平面PBC所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角,掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]以平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位,已知曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù),且),曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)求的極坐標(biāo)方程與的直角坐標(biāo)方程;
(2))若P是上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線交于點(diǎn)M,N,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張老師開車上班,有路線①與路線②兩條路線可供選擇. 路線①:沿途有兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號(hào)燈,且兩處遇到綠燈的概率依次為,若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時(shí)間2分鐘;若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時(shí)間3分鐘;若兩處都遇綠燈,則全程所花時(shí)間為20分鐘.
路線②:沿途有兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號(hào)燈,且兩處遇到綠燈的概率依次為,若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時(shí)間8分鐘;若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時(shí)間5分鐘;若兩處都遇綠燈,則全程所花時(shí)間為15分鐘.
(1)若張老師選擇路線①,求他20分鐘能到校的概率;
(2)為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少,你建議張老師選擇哪條路線?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)解不等式f(x)< ;
(3)求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=(1﹣x)|x﹣3|在(﹣∞,a]上取得最小值﹣1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,2]
B.
C.
D.[2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是( )
A. 與y=x+1
B.y=x與 (a>0且a≠1)
C. 與y=x﹣1
D.y=lgx與
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)下列算法語句,將輸出的A值依次記為a1 , a2 , …,an , …,a2015;已知函數(shù)f(x)=a2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期是a1 , 且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)表達(dá)式;
(Ⅱ)已知△ABC中三邊a,b,c對(duì)應(yīng)角A,B,C,a=4,b=4 ,∠A=30°,求f(B).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(I)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(II)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(III)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,求切線的橫坐標(biāo).
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