Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（I）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（II）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

（III）過坐標(biāo)原點作曲線的切線，求切線的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為．（2）（3）1

【解析】試題分析：（1）求出，由可得函數(shù)的減區(qū)間，由可得函數(shù)的增區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化成對任意恒成立求解，即對任意恒成立，求出的最小值即可；（3）設(shè)出切點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過切點的切線方程，利用切線過原點可求得切點坐標(biāo)。

試題解析：（I）時， ，

∴．

∵當(dāng)， ， 為單調(diào)減函數(shù)．

當(dāng)， ， 為單調(diào)增函數(shù)．

∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（II）∵， 在區(qū)間上是減函數(shù)，

∴對任意恒成立．

即對任意恒成立．

令， ．

易知在上單調(diào)遞減，∴．

∴．

（III）設(shè)切點為，

由題意得，

∴,

∴曲線在點切線方程為，

即．

又切線過原點，

∴，

整理得，

設(shè)，

則恒成立， 在上單調(diào)遞增，

又，

∴在上只有一個零點，即，

∴切點的橫坐標(biāo)為．