Question

已知函數(shù)f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e為自然數(shù)）
①若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
②當(dāng)n=-1，m∈R時，若對于任意x∈[

1

2

，1]都有f（x）≥x恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
②對于任意x∈[

1

2

，1]都有f（x）≥x恒成立，等價于m≥ex+

1

x

對于任意x∈[

1

2

，1]恒成立，求出函數(shù)的最大值，即可求實(shí)數(shù)m的最小值．

解答： 解：①f(x)=(mx+n)e-x，f′(x)=

-mx+m-n

ex

∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0，
∴f(1)=

2

e

，f′(1)=-

1

e

，
∴

-m+m-n e =- 1 e (m+n)e-1= 2 e

，∴

m=1 n=1

，
∴f（x）=（x+1）e^-x，
∴f′(x)=-

x

ex

＞0?x＜0，f′(x)＜0?x＞0
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）
②∵n=-1，m∈R，∴f(x)≥x?

mx-1

ex

≥x
對于任意x∈[

1

2

，1]都有f（x）≥x恒成立，等價于m≥ex+

1

x

對于任意x∈[

1

2

，1]恒成立
記g(x)=ex+

1

x

，則g′(x)=ex-

1

x2

設(shè)h(x)=ex-

1

x2

，h′(x)=ex+

2

x3

＞0對x∈[

1

2

，1]恒成立
∴h（x）=ex-

1

x2

在[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
又h(

1

2

)=

e

-4＜0，h(1)=e-1＞0，
∴g′(x)=ex-

1

x2

在[

1

2

，1]上有唯一零點(diǎn)x0，
∴x∈(

1

2

，x0)時，g′（x）＜0，x∈（x₀，1）時，g′（x）＞0，
∴g（x）的最大值是g（

1

2

）與g（1）中的較大的一個，
∵g（

1

2

）=

e

+2＜g（1）=e+1，
∴m≥e+1，
∴實(shí)數(shù)m的最小值為e+1．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，其中將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答此類問題的關(guān)鍵．