【題目】如圖,在直三棱柱中,,是的中點,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)異面直線和所成角的余弦值為,求幾何體的體積.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)2
【解析】
(Ⅰ)連結(jié)交于點,連結(jié),證出,利用線面平行的判定定理即可證出.
(Ⅱ)根據(jù)題意可求出,在中,利用余弦定理求出,由結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.
(Ⅰ)如圖,連結(jié)交于點,連結(jié),
因為在直三棱柱中,四邊形是矩形,
所以點是的中點,
因為是的中點,
所以.
因為平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)因為棱柱是直三棱柱,
所以,
因為,,
所以,
因為異面直線和所成角的余弦值為.
所以,
因為,,
所以.
根據(jù)余弦定理,在中,,
可得,
因為,,所以由勾股定理可得,
因為,,,
所以平面,
同理平面,
所以
.
所以幾何體的體積為2.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)對于任意,,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“團(tuán)購”已經(jīng)滲透到我們每個人的生活,這離不開快遞行業(yè)的發(fā)展,下表是2013-2017年全國快遞業(yè)務(wù)量(x億件:精確到0.1)及其增長速度(y%)的數(shù)據(jù)
(1)試計算2012年的快遞業(yè)務(wù)量;
(2)分別將2013年,2014年,…,2017年記成年的序號t:1,2,3,4,5;現(xiàn)已知y與t具有線性相關(guān)關(guān)系,試建立y關(guān)于t的回歸直線方程;
(3)根據(jù)(2)問中所建立的回歸直線方程,估算2019年的快遞業(yè)務(wù)量
附:回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點分別為、,點在橢圓上運動,求的值;
(2)設(shè)直線和圓相切,和橢圓交于、兩點,為原點,線段、分別和圓交于、兩點,設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在直角梯形DCEF中,,,,,將四邊形ABEF沿AB邊折成圖2.
(1)求證:平面DEF;
(2)若,求平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列共有項,記該數(shù)列前項中的最大項為,該數(shù)列后項中的最小項為,.
(1)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式;
(3)試構(gòu)造一個數(shù)列,滿足,其中是公差不為零的等差數(shù)列,是等比數(shù)列,使得對于任意給定的正整數(shù),數(shù)列都是單調(diào)遞增的,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.(說明:數(shù)學(xué)滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請估計數(shù)學(xué)成績的平均分;
(2)根據(jù)物理成績統(tǒng)計表,請估計物理成績的中位數(shù);
(3)若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人,從數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好均為物理成績“優(yōu)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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