Question

【題目】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3=5，a7=13，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且有Sn=2bn﹣1．
（1）求{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=anbn ， {cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}是等差數(shù)列，且a3=5，a7=13，設(shè)公差為d．

∴ ，解得

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）

在{bn}中，∵Sn=2bn﹣1

當(dāng)n=1時(shí)，b1=2b1﹣1，∴b1=1

當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1，

得bn=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1

∴{bn}是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列

∴ （n∈N*）

（2）解：∵ ，

∴ ① ②

①﹣②得

=

=1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）2n=﹣3﹣（2n﹣3）2n

∴ （n∈N*）

【解析】（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能求出首項(xiàng)和公差，由此能求出an=2n﹣1（n∈N*）；由Sn=2bn﹣1，能推導(dǎo)出{bn}是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，由此求出 （n∈N*）．（2）由 ，利用錯(cuò)位相減法能求出{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列才能正確解答此題．