(本小題滿分12分)如圖,橢圓的離心率為,直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.
(I) .(II) 時,取得最大值.
解析試題分析:(1)根據(jù)已知中的離心率和矩形的面積得到a,b,c的方程,進(jìn)而求解橢圓方程。
(2)將已知中的直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系,那么得到弦長公式,同時以及得到點S,T的坐標(biāo),進(jìn)而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面積為8,即……②
由①②解得:, ∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
(II),
設(shè),則,
當(dāng) .
當(dāng)時,有,
,
其中,由此知當(dāng),即時,取得最大值.
考點:本試題主要考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
點評:解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用代數(shù)的方法來解決解析幾何問題時,解析幾何的本質(zhì)。能結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到其方程,并聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理和判別式的到比值。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓G:的右焦點F為,G上的點到點F的最大距離為,斜率為1的直線與橢圓G交與、兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為P(-3,2)
(1)求橢圓G的方程;
(2)求的面積。
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(Ⅰ)已知雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線,且一條準(zhǔn)線為,求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知圓截軸所得弦長為6,圓心在直線上,并與軸相切,求該圓的方程.
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(本小題12分)已知拋物線C:過點A
(1)求拋物線C 的方程;
(2)直線過定點,斜率為,當(dāng)取何值時,直線與拋物線C只有一個公共點。
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(本小題滿分12分) 已知橢圓E:=1(a>b>o)的離心率e=,且經(jīng)過點(,1),O為坐標(biāo)原點。
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓,M是直線x=-4在x軸上方的一點,過M作圓O的兩條切線,切點分別為P、Q,當(dāng)∠PMQ=60°時,求直線PQ的方程.
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(12分) 如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且MD=PD.
(Ⅰ)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時,求點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度.
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已知圓O:交軸于A,B兩點,曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點Q.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓相切;
(3)試探究:當(dāng)點P在圓O上運(yùn)動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若拋物線y2=-2px(p>0)上有一點M,其橫坐標(biāo)為-9.它到焦點的距離為10,求拋物線方程和M點的坐標(biāo).
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